文章目录一、 集合论体系二、 集合表示三、 数集合三、 集合关系1、 包含关系2、 相等关系3、 集合间包含关系性质一、 集合论体系集合论体系 :
朴素集合论 : 包含悖论 ; 朴素集合论 中 不能精确定义集合 ;公理集合论 : 为了消除朴素集合论中的悖论 , 所建立的公理集合论 ; 公理集合论比较严密 , 通过一组公理描述什么是集合 ;二、 集合表示集合表示 : 使用 大写字母 表示集合 , 小写字母 表示集合中的元素 ;
列举法 : 列举出集合中的所有元素 , 元素之间使用逗号分开 , 使用花括号 “{}” 括起来 ; 如 :
A = \{0, 1, 2, 3\} ,
B = \{0, 1, 2, 3, \cdots\}描述法 : 使用 谓词
P(x) 表示
x 具有性质
P , 使用
\{x | P(x)\} 表示具有性质
P 的集合 ;
P(x) 表示
x 是英文字母 ,
\{ x | P(x) \} 表示英文字母集合 ;
P(x) 表示
x 是偶数 ,
\{ x | P(x) \} 表示偶数集合 ;
集合表示注意事项 :
不重复 : 集合中 不能有重复元素 ;
无顺序 : 集合中的元素是 无序的 ;
集合表示方法转化 : 集合的表示方法可以互相转化 , 描述法 和 列举法 可以互相转化 ;
表示方法转化示例 :
列举法 :
A=\{ 0, 2, 4 , 6 , \cdots \}描述法 :
A = \{ x | x \geq 0 并且 x 是偶数 \}三、 数集合自然数集合 :
N = \{ 0, 1 , 2 , \cdots \}整数集合 :
Z = \{ 0, \pm 1 , \pm 2 , \cdots \}有理数集合 :
Q实数集合 :
R复数集合 :
C三、 集合关系集合关系 有 包含关系 , 相等关系 , 另外关系的性质有 自反省 , 反对称性性 , 传递性 ;
1、 包含关系集合的包含关系 :
描述 :
A, B 两个集合 , 如果
B 中的元素 都是
A 中的元素 , 称
B 集合 是
A 集合的 子集 ,
A 包含
B ,
B 包含于
A ;
记作 :
B \subseteq A符号化形式 :
B \subseteq A \Leftrightarrow \forall x ( x \in B \to x \in A ) , 对于所有的对象 , 只要属于
B 集合 , 就属于
A 集合 ;
集合的不包含关系 :
描述 : 如果 集合
B 不是 集合
A 的子集
记作 :
B \not\subseteq A ;
符号化形式 :
B \not\subseteq A \Leftrightarrow \exist x ( x \in B \land x \not\in A ) , 对于所有的对象 , 存在对象属于
B 集合 , 不属于
A 集合 ;
包含示例 :
A = {1, 2, 3, 4} ,
B = {1, 2, 3} ,
C = {1, 2}有
C \subseteq B ,
C \subseteq A ,
B \subseteq A2、 相等关系集合的相等关系 :
描述 :
A, B 两个集合 , 如果
A 包含
B , 并且
B 包含
A , 则称
A 与
B 相等 ;
记作 :
A = B符号化表示 :
A = B \Leftrightarrow \forall x ( x \in B \leftrightarrow x \in A )3、 集合间包含关系性质集合间包含关系性质 : 下面的
A, B, C 是三个集合 , 以下的命题是真命题 ;
自反性 :
A \subseteq A , 集合真包含它自己 ;
反对称性 : 若
A \subseteq B 且
B \not= A , 则
B \not\subseteq A
( 该性质等价于 若
A \subseteq B 且
B \subseteq A , 则
A = B )
传递性 : 若
A \subseteq B 且
B \subseteq C , 则
A \subseteq C